Wenn ich dich richtig verstehe ist Variante 3 in Variante 1 und 2 bereits enthalten.
Bei Variante 1 würde es mir als Sachbearbeiter schon komisch vorkommen; noch komischer wird es, wenn dann doch bekannt wird, dass ihre Mutter bereits hier lebt. Ob man diesen Umstand beim gesamten Visaprozess verschweigen kann?
Variante 2 ist also glaubwürdiger - dass eine Tochter mal ihre Mutter besuchen will, ist verständlich.
Für dich ist es zudem sicherer (--> Verpflichtungserklärung.) Eine Verpflichtungserklärung umfasst schlimmstenfalls sämtliche Kosten für Lebensunterhalt, Sozialleistungen sowie für die Rückführung ins Heimatland.